EXERCICE 1 (5 points)

Dans tout l'exercice A et B étant deux événements, p(A) désigne la probabilité de A ; p(B/A) désigne la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1) Le nombre de client se présentant en cinq minutes dans une station service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité : (1 pt)

pi = p(X = i)
 
 

i	0	1	2
pi	0,1	0,5	0,4

a) Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X. (0,5 pt)
b) Calculer l'espérance mathématique de X. (1 pt)

2) Dans cette station service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7 ; celle qu'il achète du gazole est de 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants :
C1 : "en 5 minutes, un seul client se présente" ;
C2 : en 5 minutes, deux clients se présentent" ;
E : "en 5 minutes, un seul client achète de l'essence".

a) Calculer p(C1 Ç E). (0,5 pt)
b) Montrer que p(E/C2) = 0,42 et calculer p(C2 Ç E). (1 pt)
c) En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence. (1 pt)

3) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y. (1 pt)
 

EXERCICE 2 ( 5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation (1) : (0,5 pt)

On donnera le module et un argument de chaque solution. (0,5 pt)

2) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation (2) :

On donnera la solution sous forme algébrique. (0,5 pt)

3) Soit M, A et B les points d'affixe z, 1 et 2. On suppose que M est distinct des points A et B.

a) Interpréter géométriquement le module et argument de  (1 pt)

b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2). (0,5 pt)

4) a) Montrer à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équation dans l'ensemble des complexes :

 [(z-2) / (z-1)]ⁿ = i , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 3/2 . (1 pt)

b) Résoudre alors dans l'ensemble des nombres complexes l'équation (3) :

[(z-2) / (z-1)]² = i. On cherchera une solution sous forme algébrique. (1 pt)

PROBLEME (10 points)

Les tracés de courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal (unité : 2 cm).

On rappelle qu'une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f) sur un intervalle I si, et seulement si, pour tout x appartenant à I, f(x) £ g(x).
 

PARTIE A

Soit f et g les fonctions définies sur l'intervalle I = [0 ; +[ par f(x) = ln(1 + x) et g(x) = 

On notera (C) la représentation graphique de f et (G) la représentation graphique de g. On propose de démontrer que f est minorée par g sur IR⁺ . Soit h la fonction définie sur IR⁺ par h(x) = f(x) - g(x).
 
 

1) Etudier le sens de variation de h sur I ; calculer h(0).(L'étude de la limite de h en + n'est pas demandée) (0,75 pt)

2) En déduire que pour tout réel x positif ou nul, on a l'inégalité (1) suivante : (0,5 pt)

£ ln(1 + x)

3) Construire dans le même repère les courbes (C) et (G) et montrer qu'elles admettent en O une même tangente (D) que l'on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes). (1 pt)
 
 

 PARTIE B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires x k.x, majorant la fonction :

f : x ln(1 + x) sur IR⁺.

Soit f_k la fonction définie sur IR⁺ par f_k(x) = ln(1 + x) - k.x

1) Etudier le sens de variation de f₁ définie sur IR⁺ par : f₁(x) = ln(1 + x) - x (1 pt)

2) Etudier la limite de f₁en +  et donner la valeur de f₁en 0. (0,75 pt)

3) Montrer que, pour tout réel x positif ou nul on a l'inégalité (2) suivante : ln(1 + x) £ x (0,5 pt)

4) En déduire que, si k est supérieur ou égal à 1, alors : pour tout x £ 0, f(x) £ k.x (0,25 pt)

5) Le réel k vérifie les conditions : 0 < k < 1. Montrer que la dérivée de f_k s'annule pour x = (1 - k) / k et étudier le sens de variation de f_k. (L'étude de la limite de f_k en plus l'infini n'est pas demandée) ( 1pt)

6) En déduire les valeurs de k strictement positives telles que, pour tout x ³ 0, f(x) £ k.x (0,5 pt)

PARTIE C

1) A l'aide d'une intégration par partie, calculer : (0,5 pt)

(On remarquera éventuellement que )

En déduire le calcul de      puis de

(1 pt)

Pour le calcul de K, on pourra vérifier que 

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes (C), (G) et (D) obtenues dans la partie A. (0,5 pt)

2) Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante : u(0) = 1 et si x est différent de 0, u(x) = ln(1 + x) / x

On admet u est continue sur [0 ; 1]. On pose L = 

En utilisant les inégalités (1) et (2) des parties A et B , montrer que : (1 pt)

£ L £ 1.

Déduire une valeur approchée de L à 10^-1 près. (0,5 pt)